Bentuk Aljabar dan Operasinya

 Bentuk Aljabar dan Operasinya

Bentuk Aljabar

Anak-anak, pada bab ini kita akan belajar bersama mengenai Bentuk Alajabar, apa itu bentuk aljabar? mari kita simak uraian berikut ini.

Adi memiliki permen 5 lebih banyak dari permen Edi, jika banyaknya permen Edi dinyatakan dalam  x, maka banyaknya permen Adi adalah (x + 5).

Jika banyak pakan ternak dalam 1 hari adalah a, maka banyak pakan ternak dalam 3 hari adalah 3a

Bentuk seperti inilah yang dinamakan dengan bentuk aljabar, dimana bentuk aljabar adalah salah satu bentuk bilangan matematika yang disertai dengan variabel tertentu.

Untuk beberapa kejadian sehari-hari banyak yang dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar. Misalnya : jumlah harga ketika membeli berbagai jenis buah, banyaknya penggunaan listrik selama satu bulan, banyaknya pelanggan suatu toko, perhitungan ongkos produksi pabrik, dan lain sebagainya. Dengan mempelajari bentuk aljabar, maka kejadian-kejadian tersebut dapat terpecahkan.

Ada beberapa istilah yang akan ditemui dalam bentuk aljabar, antara lain:

1. Variabel
Variabel atau kadang juga disebut peubah adalah lambang yang menggantikan suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas, biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf kecil contohnya : a, b, c, ... , z

Dalam contoh tadi

 (x + 5),           x merupakan variabel.

 3a,                  a merupakan variabel

 

2. Konstanta
Konstanta adalah sebuah bilangan yang tidak mengandung variabel dan sudah diketahui nilainya dengan jelas.

Contoh

            X + 5,              5 adalah konstanta

            5y + 3,            3 adalah konstanta

3. Suku
Suku adalah konstanta dan variabel pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh bentuk aljabar  2x + 3y + 5, terdiri dari 3 suku yaitu : 2x, 3y, dan 5

-Suku-suku sejenis
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dengan masing-masing variabel memiliki pangkat yang sama.

Contoh:

4x dan -2x

5a dan 7a

5a² dan 3a²
 y dan 4y

 

-Suku tak sejenis
Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dengan masing-masing variabel memiliki pangkat yang tidak sama.

Contoh:

2x dan 4y

2x dan 3x²

 5x dan –2y

– Suku satu
Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh:

 3x

            2a²

–4xy

– Suku dua
Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

Contoh:

 2x + 3

a² – 4,

3ײ – 4x, …

– Suku tiga
Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Contoh:

2ײ – x + 1,

            3x + y – xy

– Suku banyak
Suku banyak adalah Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

Operasi bentuk aljabar.
1. Operasi penjumlahan dan pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku yang sejenis, dengan cara mengoperasikannya pada koefisienya

Perhatikan beberapa contoh berikut :

        2a + 3a = 5a

        5x + 3x = 8x

        4a + a = 5a        ( a artinya 1a, koefisien 1 tidak perlu ditulis )

        7x - 3x = 4x

        5x - x = 4x

        3a + 4b  = 3a + 4b    ( tidak dapat dijumlahkan karena bukan suku sejenis )

        6a² - 3a  =  6a² - 3a ( tidak dapat dikurangkan karena bukan suku sejenis )

        5a + 2a + 3 = 7a + 3 

        5x + 7y - 2x + 4 = 5x - 2x + 7y + 4 = 3x + 7y + 4

Nah mudah bukan?

Kalau belum jelas kalian bisa simak video berikut

Jika sudah jelas kalian bisa langsung kerjakan soal penilaiannya

Untuk memantapkan pemahaman kalian, silahkan kerjakan Soal Penilaian Harian berikut dengan cara klik link dibawah ini

SOAL PENILAIAN HARIAN BENTUK ALJABAR

 

Selamat Mengerjakan Semoga Sukses

Aamiin

OPERASI PADA HIMPUNAN

Operasi Himpunan 

(Irisan, Gabungan, Selisih dan Komplemen) 

Himpunan memiliki beberapa operasi seperti irisan, gabungan, selisih, dan komplemen. Pada pertemuan kali ini akan dibahas operasi himpunan tersebut  Materi tentang Diagram Venn yang telah dibahas pada pertemuan sebelumnya akan sangat bermanfaat untuk memahami operasi himpunan.

1. Irisan atau Interseksi

Perhatikan diagram Venn  berikut ini:

        

Perhatikan Bahwa:

A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Daerah arsiran menunjukkan anggota-anggota yang menjadi anggota A juga menjadi anggota B, sehingga dibentuk sebuah himpunan baru yang beranggotakan semua anggota yang terletak pada daerah arsiran, yaitu { 3, 5, 7 }. Himpunan baru ini disebut irisan A dan B, ditulis “A∩B ” . Jadi, A∩B={ 3,5,7 }

A irisan B  atau A∩B  adalah himpunan semua anggota yang merupakan anggota A dan juga anggota B. Dengan notasi membentuk himpunan A∩B={ x∣x∈A dan x∈B } 

Contoh:

Jika A = { 0, 1, 3, 6, 10 } dan B = { 0, 1, 4, 9 }. Tentukan A∩B  ?

Jawab: 

Anggota yang sama dari himpunan A dan B adalah 0 dan 1 oleh karena itu  A∩B={ 0, 1 }

  

2. Gabungan atau Union

Perhatikan diagram venn  berikut ini:

  

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 2, 4, 6, 10 } Daerah yang diarsir memuat semua anggota A atau semua anggota B ataupun semua anggoa A dan B. Daerah arsiran menunjukkan gabungan A dan B, ditulis “A∪B ”. Jadi A∪B  = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,10 }.

 A gabung B atau A∪B  adalah himpunan semua anggota yang merupakan anggota A atau anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai :

 A∪B = { x∣x∈A atau x∈B} 

Contoh :

Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 5, 7}.Tentukan A∪B !

Jawab: 

Perhatikan anggota A dan B. Jika digabungkan maka gabungan A dan B adalah sebuah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri dari 1,2,3,5 dan 7.Oleh karena itu  A∪B = {1, 2, 3, 5, 7}


3. Selisih Himpunan (Difference)

Perhatikan himpunan S, A dan B beserta diagram Venn berikut ini.

   

Dari diagram Venn di atas:
S={1,2,3,..., 10}
A={1,2,3,4,5,6}
B={2,4,6,8,10}

Dari himpunan A dan B dapat dibentuk himpunan yang anggotanya 1,3 dan 5. Himpunan tersebut hanya berisi anggota A saja atau anggota A yang tidak menjadi anggota dari B. Himpunan {1,3,5} disebut selisih dari A dan B, ditulis A-B.

 Selisih A dan B atau A−B adalah himpunan semua anggota A yang tidak menjadi anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan dinyatakan sebagai berikut.

 A−B={ x∣x∈A dan x∉B } 

Dari himpunan A dan B, kita dapat membentuk himpunan baru yang terdiri dari anggota-anggota A yang bukan anggota B. Himpunan A kurang himpunan B ditulis “A - B”.

Contoh:

Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 7, 9}. Tentukan A- B dan B-A

Jawab:

Perhatikan A dan B. Jika diperhatikan Anggota A yang bukan anggota B adalah 2 dan 4, sedangkan anggota B yang bukan anggota A adalah 7 dan 9. Oleh karenanya A- B = {2, 4} dan B- A = {7, 9}


4. Komplemen

Perhatikan gambar diagram venn di bawah ini!

Dari gambar diagram Venn di atas dapat diketahui bahwa A={2,4,6}. S={1,2,3,4,5,6}. Perhatikan bahwa 1, 3 dan 5 merupakan anggota-anggota dari himpunan S (semesta pembicaraan) tetapi bukan anggota dari A. Anggota lain dari semesta pembicaraan yang merupakan anggota A adalah 2, 4 dan 6. Anggota dari S yang tidak termasuk dalam A inilah yang disebut dengan anggota dari A komplement (biasa ditulis A′ atau A^c )

Komplemen A (A′) adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota semesta pembicaraan tetapi bukan merupakan anggota himpunan A. Dengan notasi pembentuk himpunan: A′={x∣x∉A  dan x∈S}

Contoh :

Jika S = {1, 2, 3, ......., 10} dan A = {2, 4, 6, 8}. Tentukan A′

Jawab:

Perhatikan bahwa anggota dari S adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10. Sedangkan Anggota A adalah 2,4,6 dan 8. Dengan demikian Anggota dari S yang tidak termasuk dalam A adalah 1,3,5,7,9 dan 10. Oleh karena itu   A^c = {1, 3, 5, 7, 9, 10}.

Nah mudah bukan?

Untuk lebih memantapkan pemahaman kalian mengenai Operasi Pada Himpunan, silahkan kerjakan soal-soal berikut dengan cara klik link dibawah ini

SOAL ULANGAN OPERASI HIMPUNAN

Selamat Mengerjakan Semoga Sukses

Aamiin

DIAGRAM VENN

 MENGGAMBAR DIAGRAM VENN

Anak-anak, pada kesempatan kali ini kita akan belajar bersama tentang Diagram Venn

Diagram venn merupakan suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Hmm bingung ya. Supaya tidak bingung, kita ingat kembali pengertian himpunan dulu ya. Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat didefinisikan dengan jelas dan terukur sehingga dapat diketahui termasuk atau tidaknya di dalam himpunan tertentu.

Nah, diagram venn ini bertugas untuk menggambarkan himpunan tadi ke dalam sebuah diagram agar lebih mudah dipahami.

Ada 3 ketentuan di dalam membuat diagram Venn, yaitu:

1. Himpunan semesta (S): biasanya digambarkan dengan persegi panjang dan lambang S ditulis pada sudut kiri atas gambar persegi panjang.
2. Setiap himpunan lain yang dibicarakan (selain himpunan kosong) digambarkan dengan lingkaran (kurva tertutup).
3. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik) dan anggota himpunan ditulis di samping noktah tersebut

Jadi kalau di diagram venn itu ada kotak persegi panjang dengan lambang S, lingkaran pertama menunjukkan himpunan 1, dan lingkaran kedua menunjukkan himpunan 2. 

Beberapa Bentuk Diagram Venn

Himpunan yang Berpotongan

 Himpunan A dan Himpunan B dikatakan berpotongan, jika ada anggota himpunan A dan B yang sama. Jadi ada anggota yang masuk ke dalam himpunan A juga ternyata masuk ke himpunan B. Himpunan A berpotongan dengan himpunan B dapat ditulis A∩B. 

Perhatikan gambar berikut 

Keterangan

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

B = { 5, 6, 7, 8, 9 }

A∩B = { 5, 6 }

Himpunan Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan A dan B yang sama. Himpunan A saling lepas dengan himpunan B dapat ditulis sebagai A//B. 

Contoh  bentuk diagram venn-nya 

Himpunan Bagian

Himpunan A dapat dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B. 

Contoh

Himpunan yang Sama

Himpunan A dan himpunan B dikatakan sama jika setiap anggota A merupakan anggota B dan setiap anggota B merupakan anggota A. Misalnya A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {5, 4, 3, 2, 1}. Nah anggota kedua himpunan ini sama persis kan, Jadi dapat dikatakan himpunan A sama dengan himpunan B. Himpunan yang sama ini dapat ditulis A = B

Contoh

Latihan Soal

Kerjakan latihan soal berikut ini pada buku kalian masing-masing, kemudian hasilnya kalian foto dan kirim lewat WA japri, jangan lupa tulis NAMA, KELAS, dan NOMOR ABSEN kalian

1. 

Berdasarkan diagram Venn diatas, nyatakan himpunan berikut gengan mendaftar anggotanya

a. Himpunan S

b. Himpunan A

c. Himpunan B

d. Himpunan A∩B.

2. Diketahui :

    S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

    A = { 1, 3, 5, 7, 9 }

    B = { 2, 3, 5, 7 }

    Gambarlah diagram Venn-nya

3. Diketahui :

    S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

    P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }

    Q = { 4, 8, 12 }

    Gambarlah diagram Venn-nya

Selamat Belajar Semoga Sukses, Aamiin

MENENTUKAN NILAI FUNGSI DAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

 

Anak-anak, melanjutkan pembelajaran kita yang kemarin, mengenai fungsi dan pemetaan, kali ini kita masih dalam pokok bahasan yang sama, dan kali ini kita akan mempelajari bersama mengenai bagaimana menghitung nilai fungsi. Apakah nilai fungsi itu dapat kita hitung mari kita pelajari bersama.

Notasi Fungsi
Sebelum kita menghitung nilai fungsi, kita harus mngetahui terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan notasi fungsi, fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f, g, atau h.

 Pada fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, jika x ∈ B maka peta atau bayangan x oleh f dinotasikan dengan f (x). Misal jika ada himpunan A yang dinyatakan dalam bentuk fungsi f ( x ) = 2x + 1 ini berarti himpunan A merupakan domain yang dinyatakan dalam fungsi f yang mempunyai aturan ( 2x + 1 ). Dari Pernyataan tersebut dapat kita tarik kesimpulan bahwa x merupakan anggota dari Himpunan A dan dapat dikatakan bahwa x anggota dari domain. Dengan aturan dari fungsi tersebut kita dapat mencari nilai kawan atau kodomain dari himpunan A dengan memasukkan nilai x kedalam aturan fungsi tersebut. Dari penjelasan diatas kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:

Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, rumus fungsi f adalah f (x) = ax + b

Menghitung Nilai Fungsi
Dengan menghitung nilai fungsi ini kita akan mengetahui nilai kawan dari sebuah himpunan yang dinyatakan dallam bentuk fungsi. tujuan dari menghitung nilai fungsi ini yaitu mengetahui nilai fungsi yang dapat menghasilkan himpunan kawan ( kodomain ) dari himpunan asal ( domain ). Perhatikan contoh soal di bawah ini:

1. Diketahui fungsi f: x → x + 2 pada himpunan bilangan bulat. 

Tentukan:

a. f (1),
b. f (2),

c. f (-5)
c. bayangan (3) oleh f

d. nilai f untuk x = 5

Jawab :
Diketahui f: x → x + 2 pada himpunan bilangan bulat.
Dengan demikian rumus fungsinya f (x) = x + 2.

a. f ( 1 ) = 1 + 2 = 3

b. f ( 2 ) = 2 + 2 = 4

c. f ( -5 ) = -5 + 2 = -3

d. Bayangan ( 3 ) oleh f sama dengan f ( 3 ). Jadi, f ( 3 ) = 3 + 2 = 5

e. Nilai f untuk x = 5  adalah f ( 5 ) = 5 + 2 = 7

2. Diketahui suatu fungsi f ( x ) = 3x + 2 dengan daerah asal = { 0, 1, 2, 3, 4 }, Tentukan daerah hasilnya.

jawab

f ( x ) = 3x + 2 , maka

f ( 0 ) = 3 . 0 + 2 = 0 + 2 = 2

f ( 1 ) = 3 . 1 + 2 = 3 + 2 = 5

f ( 2 ) = 3 . 2 + 2 = 6 + 2 = 8

f ( 3 ) = 3 . 3 + 2 = 9 + 2 = 11

f ( 4 ) = 3 . 4 + 2 = 12 + 2 = 14

Jadi daerah hasilnya = { 2, 5, 8, 11, 14 }

B. Menyusun Tabel Fungsi dan Menggambar Grafik Fungsi

Pada dasarnya menyusun tabel sebuah fungsi sama seperti mencari himpunan pasangan terurut dari sebuah fungsi yang diketahui daerah asalnya. Perhatikan contoh berikut ini!

Contoh Soal dan Pembahasannya

Buatlah tabel fungsi f(x) = –2x + 5, jika diketahui daerah asalnya  {-2, -1, 0, 1, 2 } !

Kemudian tentukan daerah hasilnya.

Penyelesaian:

f ( x ) = –2x + 5

f ( -2 ) = –2 . ( -2 ) + 5 = 4 + 5 = 9

f ( -1 ) = –2 . ( -1 ) + 5 = 2 + 5 = 7

f ( 0 ) = –2 . ( 0 ) + 5   = 0 + 5 = 5

f ( 1 ) = –2 . ( 1 ) + 5   = -2 + 5 = 3

f ( 2 ) = –2 . ( 2 ) + 5   = -4 + 5 = 1

Tabel fungsi:

 

Jadi daerah hasil ( range ) nya = { 9, 7, 5, 3, 1 }

Gambar grafik fungsinya

Jika titik-titik itu dihubungkan maka terbentuk garis

Demikian beberapa contoh cara menentukan nilai fungsi dan menggambar grafik fungsi

Untuk mengecek dan memantapkan pengetahuan kalian, silahkan kerjaka soal-soal berikut dengan cara klik 

SOAL UH MENENTUKAN NILAI FUNGSI

SELAMAT BELAJAR SEMOGA SUKSES

AAMIIN